Systemy liczenia
Kilka zajęć koła matematycznego możemy poświęcić na objaśnienie dzieciom budowy systemów liczenia.
Prawdę powiedziawszy, uczniowie nie muszą dziś znać metody zamiany liczby zapisanej w systemie dziesiątkowym na odpowiadającą jej liczbę, zapisaną na przykład w systemie dwójkowym. Tę czynność wykonuje za nas komputer. Wystarczy otworzyć kalkulator, a w nim widok naukowy; następnie zaznaczamy opcję Dec (system dziesiątkowy) i wpisujemy liczbę, później zaznaczamy Bin (system dwójkowy) i automatycznie otrzymujemy liczbę zapisaną w systemie dwójkowym. Analogicznie postępujemy przy innych zamianach.
Niezbędna okazuje się umiejętność zamiany liczby zapisanej w systemie szesnastkowym na jej odpowiednik w systemie dziesiątkowym, podczas tworzenia stron internetowych, a w szczególności podczas tworzenia rysunków, na przykład programie Paint, w których tło jest identyczne z tłem strony.
Zatem, aby otrzymać żądany kolor tła, musimy wykonać następujące operacje:
- Spisać ze „źródła” strony kod (zapisany w systemie szesnastkowym) koloru tła (np.: 354e7d),
- Otwieramy Painta, a w nim „kolory”,„edytuj kolory”, „definiuj kolory niestandardowe”,
- Zobaczymy napisy: „czerwony”, „zielony”, „niebieski”,
Jest to system reprezentowania barw wyświetlanych na ekranie monitora. Te trzy podstawowe kolory łączone w różnych proporcjach dać mogą w wyniku dowolną barwę widzianego spektrum. Poziom nasycenia każdego z trzech kolorów R, G, B (z ang. Red, Green, Blue-czerwony, zielony, niebieski) reprezentowany jest przez liczbę od 0 do 255 (czyli jeden bajt). Możliwych do wygenerowania kolorów RGB jest zatem 256 ·256 ·256, czyli 16777216.
- 35, to numer koloru czerwonego, zapisanego w systemie szesnastkowym,
- 4e, to numer koloru zielonego, zapisanego w systemie szesnastkowym,
- 7d, to numer koloru niebieskiego, zapisanego w systemie szesnastkowym,
- Przeliczamy przy pomocy kalkulatora liczbę 35(zaznaczamy opcję Hex i wpisujemy 35, następnie zaznaczamy opcję Dec) na system dziesiątkowy, to będzie 53,
- Wpisujemy 53 w pole „Czerw:”,
- Przeliczamy przy pomocy kalkulatora liczbę 4e, to będzie 78,
- Wpisujemy78 w pole „Ziel:”,
- Przeliczamy przy pomocy kalkulatora liczbę 7d, to będzie 125,
- Wpisujemy125 w pole „Nieb:”,
- Otrzymujemy odcień koloru niebieskiego,
- Dodajemy do kolorów niestandardowych,
- Klikamy prawym przyciskiem myszy na otrzymany nowy kolor w palecie kolorów, aby uzyskać żądane tło,
- Wykonujemy rysynek
Jednak dzieci czesto zadają pytanie - „dlaczego?” Na przykład, dlaczego 8 w systemie dziesiątkowym, to 1000 w systemie dwójkowym? Kalkulator pokazuje wynik, my jednak powinniśmy nauczyć dziecko umiejętności sprawdzania poprawnej pracy działającej aplikacji.
Poznajmy zatem kilka przykładów budowy systemów liczenia
Opis
System dziesiątkowy:
- do zapisania każdej liczby wystarczy 10 cyfr (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9),
- jednostka każdego następnego rzędu, licząc od końca, jest dziesięć razy większa od jednostki rzędu poprzedniego.
System dwójkowy:
- do zapisania każdej liczby wystarczą 2 cyfry (0, 1),
- jednostka każdego następnego rzędu, licząc od końca, jest dwa razy większa od jednostki rzędu poprzedniego.
System ósemkowy:
- do zapisania każdej liczby wystarczy 9 cyfr (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7),
- jednostka każdego następnego rzędu, licząc od końca, jest osiem razy większa od jednostki rzędu poprzedniego.
Zatem:
| 5 |
4 |
3 |
2 |
1 |
0 |
rząd, pozycja |
system
dziesiątkowy |
100000
105 |
10000
104 |
1000
103 |
100
102 |
10
101 |
1
100 |
jednostka
rzędu |
| 5 |
4 |
3 |
2 |
1 |
0 |
rząd, pozycja |
system
dwójkowy |
32
25 |
16
24 |
8
23 |
4
22 |
2
21 |
1
20 |
jednostka
rzędu |
| 5 |
4 |
3 |
2 |
1 |
0 |
rząd, pozycja |
system
trójkowy |
243
35 |
81
34 |
27
33 |
9
32 |
3
31 |
1
30 |
jednostka
rzędu |
| 5 |
4 |
3 |
2 |
1 |
0 |
rząd, pozycja |
system
piątkowy |
3125
55 |
625
54 |
125
53 |
25
52 |
5
51 |
1
50 |
jednostka
rzędu |
Jak widać z powyższej tabeli każdą liczbę naturalną m można przedstawić w systemie q (gdzie q jest liczbą naturalną, większą od jedności)
- za pomocą nie więcej niż q cyfr,
- jednostka każdego następnego rzędu jest q razy większa od jednostki poprzedniego rzędu.
A więc każda liczba naturalna m może być zapisana w postaci:
m = cnqn + cn-1qn-1 + cn-2qn-2 +...+ c2q2 + c1q1 + c0q0
gdzie n należy do N lub jest równe 0 oraz liczby c0, c1,...,cn są równe 0, 1, ... , q-1 oraz c0 jest różne od 0.
(Dowód tego twierdzenia: Z. Semadeni - Matematyka współczesna w nauczaniu dzieci. PWN Warszawa 1973 r., s. 19)
Zamiana liczby zapisanej w systemie dziesiątkowym na liczbę zapisaną w systemie dwójkowym.
Aby tego dokonać, należy zapisać tę liczbę w postaci sumy, której składnikami są potęgi liczby 2 (od największej do najmniejszej, zawierającej się w tej liczbie). Kolejne potęgi liczby 2: 20 = 1, 21 = 2, 22 = 4, 23 = 8, 24 = 16, 25 = 32, 26 = 64, 27 = 128, itd. ...
Przykład 1
63(10) = 32 + 31 = 32 + 16 + 15 = 32 + 16 + 8 + 7 = 32 + 16 + 8 + 4 + 3 = 32 + 16 + 8 + 7 =
32 + 16 + 8 + 4 + 2 + 1 = 1 · 25 + 1 · 24 + 1 · 23 + 1 · 22 + 1 · 21 + 1 · 20 = (111111)2
Przykład 2
71(10) = 64 + 7 = 64 + 4 + 3 = 64 + 4 + 2 + 1 = 26 + 22 + 21 + 20
= 1 · 26 + 0 · 25 + 0 · 24 + 0 · 23 + 1 · 21 + 1 · 20 = (100011)2
Zamiana liczby zapisanej w systemie dwójkowym na liczbę zapisaną w systemie dziesiątkowym.
Przykład 1
(100110)2 =1 · 25 + 0 · 24 + 0 · 23 + 1 · 22 + 1 · 21 + 0 · 20
= 1·32 + 1·4 + 1·2 = 32 + 6 = 38(10)
Przykład 2
(10101)2 = 1 · 24 + 0 · 23 + 1 · 22 + 0 · 21 + 1 · 20
= 16 + 0 + 4 + 0 + 1 = 21(10)
Zamiana liczby zapisanej w systemie dziesiątkowym na liczbę zapisaną w systemie trójkowym.
Aby tego dokonać, należy zapisać tę liczbę w postaci sumy, której składnikami są potęgi liczby 3 (od największej do najmniejszej, zawierającej się w tej liczbie). Kolejne potęgi liczby 3: 30 = 1, 31 = 3, 32 = 9, 33 = 27, 34 = 81, 35 = 273, itd. ...
Przykład 1
128(10) = 81 + 47 = 81 + 27 + 20 = 81 +27 +9 +11 = 81 +27 + 9 + 9 + 2 = 81 + 27 + 9 + 9 + 1 + 1 =1 · 81 + 1 ·27 + 2 · 9 + 2 · 1 =
1 ·34 + 1 · 33 + 2 · 32 + 0 · 31 + 2 · 30 = (11202)3
Przykład 2
300(10) = 273 + 27 = =1 · 273 + 1 ·27 =
1 ·35 + 0 · 34 + 1 · 33 + 0 · 32 + 0 · 31 + 0 · 30 = (101000)3
Zamiana liczby zapisanej w systemie trójkowym na liczbę zapisaną w systemie dziesiatkowym.
Przykład 1
(1202)3 =1 · 33 + 2 · 32 + 0 · 31 + 2 · 30
= 1·27 + 2·9+ 0·1+ 2·3 = 27 + 18 +2 = 47(10)
Przykład 2
(1002010)3 = 1 · 36 +0 · 35 + 0 · 34 + 2 · 33 + 0 · 32 + 1 · 31+ 0 · 30
= 819 + 2·27+ 1·3 =819 + 54 + 3 = 873 + 3 = 876 (10)
Zamiana liczby zapisanej w systemie dziesiątkowym na liczbę zapisaną w systemie piątkowym.
Aby tego dokonać, należy zapisać tę liczbę w postaci sumy, której składnikami są potęgi liczby 5 (od największej do najmniejszej, zawierającej się w tej liczbie). Kolejne potęgi liczby 5: 50 = 1, 51 = 5, 52 = 25, 53 = 125, 55 = 3125, itd. ...
.
Przykład 1
800(10) = 625+ 175 = 625 + 125 + 50 = 1 · 625 + 1 ·125 + 2 · 25 =
1 ·54 + 1 · 53 + 2 · 52 + 0 · 51 + 0 · 50 = (11200)5
Zamiana liczby zapisanej w systemie piątkowym na liczbę zapisaną w systemie dziesiątkowym.
Przykład 1
(4231)5 = 4 · 53 +2 · 52 + 3 · 51 + 1 · 50
= 4·125+ 2·25 + 3·5 + 1·1 =500 + 50 + 15 + 1 = 550 + 16 = 566 (10)
W analogiczny sposób zapisujemy liczby w następnych systemach pozycyjnych, az do 10 - kowego.
Chcąc zapisać liczby w systemach pozycyjnych o podstawie większej niż dziesięć - jedenastkowym, dwunastkowym, itd. ... , należy dysponować większą ilością cyfr.
Jeżeli na przykład chcemy zapisać jakąś liczbę w układzie szesnastkowym, wtedy potrzebujemy 16 cyfr (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F). Dziesięć pierwszych przyjmujemy zgodnie z systemem dziesiątkowym, natomiast dalsze:
A oznacza 10 w systemie dziesiątkowym,
B oznacza 11,
C oznacza 12,
D oznacza 13,
E oznacza 14,
F oznacza 15.
Zamiana liczby zapisanej w systemie dziesiątkowym na liczbę zapisaną w systemie szesnastkowym.
Przykład 1
Weźmy liczbę 212. Ponieważ 162 = 256, więc w tej liczbie mieści się tylko 16 w potędze pierwszej. Dzieląc pisemnie 212 przez 16 otrzymujemy 13 i reszty 4, zatem
212(10) = 13 · 16 + 4 = D · 16 + 1 + 1 + 1 + 1 = D · 16 1 + 1 · 16 0 + 1 · 16 0+ 1 · 16 0+ 1 · 16 0 = D · 161 + 4 · 16 0 = (D4)(16)
Przykład 2
Weźmy liczbę 337. Ponieważ 162 = 256, więc w tej liczbie mieści się 16 w potędze drugiej,
zatem:
337(10) = 256 + 81 = 256 + 16 + 65 = 256 + 16 + 16 + 49 = 256 + 16 + 16 + 16 + 33 = 256 + 16 + 16 + 16 + 16 + 17 = 256 + 16 + 16 + 16 + 16 + 16 + 1 =
1 · 162 + 5 · 161 + 1 · 160 = (151)16
Przykład 3
Weźmy liczbę 182. W tej liczbie mieści się 16 w potędze pierwszej, wiec dla usprawnienia liczenia podzielimy pisemnie 182 przez 16, aby dowiedzieć sie ile razy liczba 16 mieści się w liczbie 182. Otrzymujemy 11 i resztę 6,
zatem:
182(10) = 11 · 16 + 6 = B · 16 + 6 · 1 = B · 161 + 6 · 16 0 =(B6)16
Zamiana liczby zapisanej w systemie szesnastkowym na liczbę zapisaną w systemie dziesiątkowym.
Przykład 1
(12ED)16 = 1 · 163 +2 · 162 + 14 · 161 + 13 · 160
= 4096+ 2·256 + 14·16 + 13·1 =4096 + 512 + 224 + 13 = 4845 (10)
Przykład 2
(56AF)16 = 5 · 163 +6 · 162 + 10 · 161 + 15 · 160
= 5 ·4096+ 6·256 + 10·16 + 15·1 =20480 + 1536 + 160 + 15 = 22191 (10)
Trudniej jest przedstawić ułamki zwykłe w innych systemach liczenia.
Przedstawiamy ułamki zwykłe jako sumy ułamków o liczniku 1 tak, aby te same składniki nie powtarzały się, a następnie zapisujemy je na przykład w systemie dwójkowym.
Przykład 1
1/2 (10) = 1/21 = 0,1 (2)
Przykład 2
7/8 (10) = 1/8 + 1/8 + 1/8 + 1/8 + 1/8 + 1/8 + 1/8 = 4/8 + 2/8 + 1/8 = 1/2 + 1/4 + 1/8 = 1/21 + 1/22 +1/23 = 0,111(2)
Przykład 3
15/16 (10) = 2/16 + 4/16 + 8/16 + 1/16 = 1/8 + 1/4 + 1/2 + 1/16= 1/21 + 1/22 + 1/23 + 1/24 = 0,1111 (2)
Przykład 4
2/3 (10) = 2 · 1/31 = 2/31 = 0,2(3)
Trudno również jest przedstawić ułamki zwykłe w innych systemach liczenia, szczególnie wtedy, gdy otrzymujemy wynik nieskończony.
Przykład 1
1/3 = (10) = 4/12 = 3/12 + 1/12 = 1/4 + 1/12 = 1/4 + 4/48 = 1/4 + 3/48 + 1/48 = 1/4 + 1/16 + 1/48 = 1/4 + 1/16 + 4/192 = 1/4 + 1/16 + 3/192 + 1/192 =
1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/192 = 1/22 + 1/24 + 1/26 + 1/192 = 0,010101... (2)
Przykład 2
1/7 (10) = 8/56 = 7/56 + 1/56 = 1/8
+ 1/56 = 1/8 + 8/448 = 1/8 + 7/448 + 1/448 = 1/8 + 1/64 + 1/448 = 1/23 + 1/26 + 1/448 = 1/23 + 1/26 + 8/3584 = 1/23 + 1/26 + 7/3584 + 1/3584 =
1/23 + 1/26 + 1/512 + 1/3584 = 1/23 + 1/26 + 1/29 + 1/3584 = 0,001001001...(2)
Przykład 3
1/4 (10) = 9/36 = 4/36 + 5/36 = 1/9 + 5/36 = 1/9 + 10/72 = 1/9 + 8/72 + 2/72
=
1/9 + 1/9 + 2/72 = 1/9 + 1/9 + 2/81 + 1/324 = 2·1/9 + 2·1/81 + 1/324 = 2·1/32 + 2·1/34 + 1/324 = 0,0202... (3)
Dodawanie sposobem pisemnym w systemie liczenia dwójkowym i trójkowym
- dodawanie w systemie dwójkowym - jeśli przy dodawaniu otrzymujemy dwie jednostki rzędu niższego, zapisujemy je jako jedną jednostkę rzędu następnego, np. :
- dodawanie w systemie trójkowym - jesli w wyniku dodawania otrzymujemy w jakimś rzedzie trzy jednostki, stanowią one wtedy jedną jednostkę rzedu nastepnego, np. :
Odejmowanie sposobem pisemnym w systemie liczenia dwójkowym i trójkowym
odejmowanie w systemie dwójkowym - wykonujemy analogicznie jak w systemie dziesiątkowym, np. :
odejmowanie w systemie trójkowym - wykonujemy analogicznie jak w systemie dziesiątkowym,
np. :
Ciekawe zadania
Literatura