Systemy liczenia

Kilka zajęć koła matematycznego możemy poświęcić na objaśnienie dzieciom budowy systemów liczenia.

Prawdę powiedziawszy, uczniowie nie muszą dziś znać metody zamiany liczby zapisanej w systemie dziesiątkowym na odpowiadającą jej liczbę, zapisaną na przykład w systemie dwójkowym. Tę czynność wykonuje za nas komputer. Wystarczy otworzyć kalkulator, a w nim widok naukowy; następnie zaznaczamy opcję Dec (system dziesiątkowy) i wpisujemy liczbę, później zaznaczamy Bin (system dwójkowy) i automatycznie otrzymujemy liczbę zapisaną w systemie dwójkowym. Analogicznie postępujemy przy innych zamianach.

Niezbędna okazuje się umiejętność zamiany liczby zapisanej w systemie szesnastkowym na jej odpowiednik w systemie dziesiątkowym, podczas tworzenia stron internetowych, a w szczególności podczas tworzenia rysunków, na przykład programie Paint, w których tło jest identyczne z tłem strony.

Zatem, aby otrzymać żądany kolor tła, musimy wykonać następujące operacje:

Jednak dzieci czesto zadają pytanie - „dlaczego?” Na przykład, dlaczego 8 w systemie dziesiątkowym, to 1000 w systemie dwójkowym? Kalkulator pokazuje wynik, my jednak powinniśmy nauczyć dziecko umiejętności sprawdzania poprawnej pracy działającej aplikacji.

Poznajmy zatem kilka przykładów budowy systemów liczenia

Opis

System dziesiątkowy:

System dwójkowy:

System ósemkowy:

Zatem:

5
4
3
2
1
0
rząd, pozycja
system
dziesiątkowy
100000
105
10000
104
1000
103
100
102
10
101
1
100
jednostka
rzędu
5
4
3
2
1
0
rząd, pozycja
system
dwójkowy
32
25
16
24
8
23
4
22
2
21
1
20
jednostka
rzędu
5
4
3
2
1
0
rząd, pozycja
system
trójkowy
243
35
81
34
27
33
9
32
3
31
1
30
jednostka
rzędu
5
4
3
2
1
0
rząd, pozycja
system
piątkowy
3125
55
625
54
125
53
25
52
5
51
1
50
jednostka
rzędu

Jak widać z powyższej tabeli każdą liczbę naturalną m można przedstawić w systemie q (gdzie q jest liczbą naturalną, większą od jedności)


A więc każda liczba naturalna m może być zapisana w postaci:

m = cnqn + cn-1qn-1 + cn-2qn-2 +...+ c2q2 + c1q1 + c0q0

gdzie n należy do N lub jest równe 0 oraz liczby c0, c1,...,cn są równe 0, 1, ... , q-1 oraz c0 jest różne od 0.
(Dowód tego twierdzenia: Z. Semadeni - Matematyka współczesna w nauczaniu dzieci. PWN Warszawa 1973 r., s. 19)

Zamiana liczby zapisanej w systemie dziesiątkowym na liczbę zapisaną w systemie dwójkowym.

Aby tego dokonać, należy zapisać tę liczbę w postaci sumy, której składnikami są potęgi liczby 2 (od największej do najmniejszej, zawierającej się w tej liczbie). Kolejne potęgi liczby 2: 20 = 1, 21 = 2, 22 = 4, 23 = 8, 24 = 16, 25 = 32, 26 = 64, 27 = 128, itd. ...

Przykład 1

63(10) = 32 + 31 = 32 + 16 + 15 = 32 + 16 + 8 + 7 = 32 + 16 + 8 + 4 + 3 = 32 + 16 + 8 + 7 =
32 + 16 + 8 + 4 + 2 + 1 = 1 · 25 + 1 · 24 + 1 · 23 + 1 · 22 + 1 · 21 + 1 · 20 = (111111)2

Przykład 2

71(10) = 64 + 7 = 64 + 4 + 3 = 64 + 4 + 2 + 1 = 26 + 22 + 21 + 20
= 1 · 26 + 0 · 25 + 0 · 24 + 0 · 23 + 1 · 21 + 1 · 20 = (100011)2

Zamiana liczby zapisanej w systemie dwójkowym na liczbę zapisaną w systemie dziesiątkowym.

Przykład 1

(100110)2 =1 · 25 + 0 · 24 + 0 · 23 + 1 · 22 + 1 · 21 + 0 · 20
= 1·32 + 1·4 + 1·2 = 32 + 6 = 38(10)

Przykład 2

(10101)2 = 1 · 24 + 0 · 23 + 1 · 22 + 0 · 21 + 1 · 20
= 16 + 0 + 4 + 0 + 1 = 21(10)

Zamiana liczby zapisanej w systemie dziesiątkowym na liczbę zapisaną w systemie trójkowym.

Aby tego dokonać, należy zapisać tę liczbę w postaci sumy, której składnikami są potęgi liczby 3 (od największej do najmniejszej, zawierającej się w tej liczbie). Kolejne potęgi liczby 3: 30 = 1, 31 = 3, 32 = 9, 33 = 27, 34 = 81, 35 = 273, itd. ...

Przykład 1

128(10) = 81 + 47 = 81 + 27 + 20 = 81 +27 +9 +11 = 81 +27 + 9 + 9 + 2 = 81 + 27 + 9 + 9 + 1 + 1 =1 · 81 + 1 ·27 + 2 · 9 + 2 · 1 =
1 ·34 + 1 · 33 + 2 · 32 + 0 · 31 + 2 · 30 = (11202)3

Przykład 2

300(10) = 273 + 27 = =1 · 273 + 1 ·27 =
1 ·35 + 0 · 34 + 1 · 33 + 0 · 32 + 0 · 31 + 0 · 30 = (101000)3

Zamiana liczby zapisanej w systemie trójkowym na liczbę zapisaną w systemie dziesiatkowym.

Przykład 1

(1202)3 =1 · 33 + 2 · 32 + 0 · 31 + 2 · 30
= 1·27 + 2·9+ 0·1+ 2·3 = 27 + 18 +2 = 47(10)

Przykład 2

(1002010)3 = 1 · 36 +0 · 35 + 0 · 34 + 2 · 33 + 0 · 32 + 1 · 31+ 0 · 30
= 819 + 2·27+ 1·3 =819 + 54 + 3 = 873 + 3 = 876 (10)

Zamiana liczby zapisanej w systemie dziesiątkowym na liczbę zapisaną w systemie piątkowym.

Aby tego dokonać, należy zapisać tę liczbę w postaci sumy, której składnikami są potęgi liczby 5 (od największej do najmniejszej, zawierającej się w tej liczbie). Kolejne potęgi liczby 5: 50 = 1, 51 = 5, 52 = 25, 53 = 125, 55 = 3125, itd. ... .

Przykład 1

800(10) = 625+ 175 = 625 + 125 + 50 = 1 · 625 + 1 ·125 + 2 · 25 =
1 ·54 + 1 · 53 + 2 · 52 + 0 · 51 + 0 · 50 = (11200)5

Zamiana liczby zapisanej w systemie piątkowym na liczbę zapisaną w systemie dziesiątkowym.

Przykład 1

(4231)5 = 4 · 53 +2 · 52 + 3 · 51 + 1 · 50
= 4·125+ 2·25 + 3·5 + 1·1 =500 + 50 + 15 + 1 = 550 + 16 = 566 (10)

W analogiczny sposób zapisujemy liczby w następnych systemach pozycyjnych, az do 10 - kowego.
Chcąc zapisać liczby w systemach pozycyjnych o podstawie większej niż dziesięć - jedenastkowym, dwunastkowym, itd. ... , należy dysponować większą ilością cyfr.
Jeżeli na przykład chcemy zapisać jakąś liczbę w układzie szesnastkowym, wtedy potrzebujemy 16 cyfr (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F). Dziesięć pierwszych przyjmujemy zgodnie z systemem dziesiątkowym, natomiast dalsze:
A oznacza 10 w systemie dziesiątkowym, B oznacza 11, C oznacza 12, D oznacza 13, E oznacza 14, F oznacza 15.

Zamiana liczby zapisanej w systemie dziesiątkowym na liczbę zapisaną w systemie szesnastkowym.

Przykład 1

Weźmy liczbę 212. Ponieważ 162 = 256, więc w tej liczbie mieści się tylko 16 w potędze pierwszej. Dzieląc pisemnie 212 przez 16 otrzymujemy 13 i reszty 4, zatem 212(10) = 13 · 16 + 4 = D · 16 + 1 + 1 + 1 + 1 = D · 16 1 + 1 · 16 0 + 1 · 16 0+ 1 · 16 0+ 1 · 16 0 = D · 161 + 4 · 16 0 = (D4)(16)

Przykład 2

Weźmy liczbę 337. Ponieważ 162 = 256, więc w tej liczbie mieści się 16 w potędze drugiej,
zatem:

337(10) = 256 + 81 = 256 + 16 + 65 = 256 + 16 + 16 + 49 = 256 + 16 + 16 + 16 + 33 = 256 + 16 + 16 + 16 + 16 + 17 = 256 + 16 + 16 + 16 + 16 + 16 + 1 =
1 · 162 + 5 · 161 + 1 · 160 = (151)16

Przykład 3

Weźmy liczbę 182. W tej liczbie mieści się 16 w potędze pierwszej, wiec dla usprawnienia liczenia podzielimy pisemnie 182 przez 16, aby dowiedzieć sie ile razy liczba 16 mieści się w liczbie 182. Otrzymujemy 11 i resztę 6,
zatem:

182(10) = 11 · 16 + 6 = B · 16 + 6 · 1 = B · 161 + 6 · 16 0 =(B6)16

Zamiana liczby zapisanej w systemie szesnastkowym na liczbę zapisaną w systemie dziesiątkowym.

Przykład 1

(12ED)16 = 1 · 163 +2 · 162 + 14 · 161 + 13 · 160
= 4096+ 2·256 + 14·16 + 13·1 =4096 + 512 + 224 + 13 = 4845 (10)

Przykład 2

(56AF)16 = 5 · 163 +6 · 162 + 10 · 161 + 15 · 160
= 5 ·4096+ 6·256 + 10·16 + 15·1 =20480 + 1536 + 160 + 15 = 22191 (10)

Trudniej jest przedstawić ułamki zwykłe w innych systemach liczenia.


Przedstawiamy ułamki zwykłe jako sumy ułamków o liczniku 1 tak, aby te same składniki nie powtarzały się, a następnie zapisujemy je na przykład w systemie dwójkowym.

Przykład 1

1/2 (10) = 1/21 = 0,1 (2)

Przykład 2

7/8 (10) = 1/8 + 1/8 + 1/8 + 1/8 + 1/8 + 1/8 + 1/8 = 4/8 + 2/8 + 1/8 = 1/2 + 1/4 + 1/8 = 1/21 + 1/22 +1/23 = 0,111(2)

Przykład 3

15/16 (10) = 2/16 + 4/16 + 8/16 + 1/16 = 1/8 + 1/4 + 1/2 + 1/16= 1/21 + 1/22 + 1/23 + 1/24 = 0,1111 (2)

Przykład 4

2/3 (10) = 2 · 1/31 = 2/31 = 0,2(3)

Trudno również jest przedstawić ułamki zwykłe w innych systemach liczenia, szczególnie wtedy, gdy otrzymujemy wynik nieskończony.


Przykład 1

1/3 = (10) = 4/12 = 3/12 + 1/12 = 1/4 + 1/12 = 1/4 + 4/48 = 1/4 + 3/48 + 1/48 = 1/4 + 1/16 + 1/48 = 1/4 + 1/16 + 4/192 = 1/4 + 1/16 + 3/192 + 1/192 =
1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/192 = 1/22 + 1/24 + 1/26 + 1/192 = 0,010101... (2)

Przykład 2

1/7 (10) = 8/56 = 7/56 + 1/56 = 1/8 + 1/56 = 1/8 + 8/448 = 1/8 + 7/448 + 1/448 = 1/8 + 1/64 + 1/448 = 1/23 + 1/26 + 1/448 = 1/23 + 1/26 + 8/3584 = 1/23 + 1/26 + 7/3584 + 1/3584 =
1/23 + 1/26 + 1/512 + 1/3584 = 1/23 + 1/26 + 1/29 + 1/3584 = 0,001001001...(2)

Przykład 3

1/4 (10) = 9/36 = 4/36 + 5/36 = 1/9 + 5/36 = 1/9 + 10/72 = 1/9 + 8/72 + 2/72 =
1/9 + 1/9 + 2/72 = 1/9 + 1/9 + 2/81 + 1/324 = 2·1/9 + 2·1/81 + 1/324 = 2·1/32 + 2·1/34 + 1/324 = 0,0202... (3)

Dodawanie sposobem pisemnym w systemie liczenia dwójkowym i trójkowym


1 2 0 1
2 1 2

2 1 2 0


1 1 2 0 2
1 1 2

1 2 0 2 1

Odejmowanie sposobem pisemnym w systemie liczenia dwójkowym i trójkowym

  • odejmowanie w systemie dwójkowym - wykonujemy analogicznie jak w systemie dziesiątkowym, np. :



  • 1 1 0 1
    1 1

    1 0 1 0


    1 0 0 1 1
    1 1 1 1

    1 0 0
  • odejmowanie w systemie trójkowym - wykonujemy analogicznie jak w systemie dziesiątkowym, np. :



  • 1 2 0 1
    2 1 2

    2 1 2




    1 0 1 1 0
    1 1

    1 0 0 2 2


    Ciekawe zadania

    Literatura